Линейная алгебра.

 ссылка для  скачивания курса лекций-шпаргалок внизу страницы

Линейная алгебра лекции

НАЖМИТЕ НА нужную ссылку ниже, ссылка откроется в НОВОЙ! вкладке. (для браузеров Google Chrome, Mozilla Firefox и Opera.)

ВЕКТОРЫ.

1. Арифметическое пространство Rn. Арифметический вектор. Нулевой вектор. Операции над векторами. Скалярное произведение в Rn. Линейная зависимость и независимость в R. Линейная комбинация векторов, тривиальная комбинация.  Базис.  Разложение вектора по базису. Канонический базис.  

МАТРИЦЫ.

2.    Скалярное произведение двух 2 векторов . Свойства скалярного произведения.  Длина(норма) вектора, неравенство треугольника. Матрицы. Умножение матриц. Операции над матрицами. Ассоциативность умножения матриц. Квадратные матрицы. Верхняя треугольная, нижняя треугольная, симметричная, кососимметричная матрица. Главная диагональ. 

3.    Определители матрицы. Определители n-го порядка. Алгебраические дополнения и миноры.Свойства определителей. 

4.    Определитель Вандермонда. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования, единственность.Левая и правая обратные матрицы, формула для вычисления обратной матрицы. 

5.    Различные формы записи систем линейных уравнений.  Матрица коэффициентов системы, вектор-столбец неизвестных, вектор-столбец правых частей. Определенная, неопределенная, совместная системы. Системы, решаемые по правилу Крамера, правило Крамера.. 

6.    Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре и ее  доказательство. 

7.    Методы вычисления (способы нахождения)  ранга матрицы. Элементарные преобразования. Окаймляющий минор. Расширенная матрица системы.  Теорема Кронекера-Капелли с доказательством. 

8. ;   Фундаментальная   система   решений   для   однородной   системы   линейных   уравнений. О С Л У Структура общего решения для неоднородной системы линейных уравнений. 

9.  Вещественные (векторные) Линейные пространства. Нулевой вектор. Определение, примеры.  

10.  Линейная зависимость и независимость векторов. Разложение вектора по базису. Базис в линейном пространстве.  Теоремы о базисе. Размерность пространства. Примеры конечномерных и бесконечномерных пространств. 

11.  Матричная (новая) форма разложения по базису. Матрица перехода к новому базису. Формулы преобразования координат при изменении базиса. Матрица перехода, свойства. 

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

12. Отображения множеств. Взаимно однозначные отображения. Примеры.  Изоморфизмы линейных пространств. 

13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. 

14.  Операторы из L1 в L2 (из одного линейного пространства в другое). Композиция линейных операторов. Алгебра операторов. Матрица суммы, произведения на число и произведения линейных операторов Обратный оператор лемма..  

15.  Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение. Характеристический многочлен. Вычисление собственных чисел по матрице линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.  

16.  Евклидовы пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора,   угол между векторами, ортогональные векторы. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Проекция вектора. Коэффициент Фурье. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.  

17.  Комплексные линейные пространства. Унитарные пространства. Примеры. Комплексное число. Неравенство Коши-Буняковского для унитарных пространств. 

18. Сопряженный оператор, его свойства. Самосопряженные операторы, их свойства. Примеры.

ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

19.  Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. Собственные числа самосопряженнго оператора. Лемма.  Унитарные операторы, их свойства. Примеры. 

20.  Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду. Линейные формы. Примеры. Вид линейной формы в фиксированном базисе. Переход к новому базису. Сопряженное пространство. Двойственный базис. 

21.  Билинейные формы. Вид билинейной формы в фиксированном базисе. Переход к новому базису. Невырожденные, симметричные и положительно определенные билинейные формы. 

22.  Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом собственных векторов.  Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. 

23. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.  

24. Подпространства линейного пространства, линейные многообразия. Примеры Линейная оболочка системы векторов. Примеры Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. 

25.   Ядро и образ линейного оператора.  

ССЫЛКА ДЛЯ СКАЧИВАНИЯ: